Coro
S'il n'y a pas de solution, il n'y a pas de problème.

Légende
Sexy beast
le 27/01/2018 14:50
Six-y Beast

Alice et Bob jouent au jeu suivant : chacun choisit secrètement un nombre (entier naturel) entre 1 et 6. Alice paie à Bob 3 points et s'ils ont choisit des nombres différents, Bob paie à Alice autant de points que le nombre qu'elle a choisi. Quelles sont les meilleures stratégies d'Alice et Bob? Vaut-il mieux être Alice ou Bob dans ce jeu?
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SIMON16DICE
le 27/01/2018 16:50
Je choisirai Alice, qui dit un nombre aléatoire dans tous les cas, comme ça au bout du compte avec les probabilités elle finira par gagner
SIMON16DICE
le 27/01/2018 16:51
Ah merde désolé j'ai mal compris
zombie33

Légende
le 27/01/2018 16:54
Clairement je me sens directement visé par ton problème Coro, mais là je suis désolé je n'ai pas le temps de m'y consacrer.

SIMON16DICE tu aggayes ma journée.
Madmox
I guess Warhol wasn't wrong, Fame fifteen minutes long

Légende
le 27/01/2018 19:24
Je ne sais pas si c'est la meilleure stratégie de Alice, mais j'ai :

Alice choisit le nombre 4 avec une probabilité P4, le nombre 5 avec une probabilité P5, le nombre 6 avec une probabilité P6, tels que :
4*P4 = 5*P5 = 6*P6
P4+P5+P6 = 1

Alors on peut calculer les valeurs de ces probabilités :
P4 + P4*4/5 + P4*4/6 = 1
=>
P4 = 15/37
P5 = 12/37
P6 = 10/37

Si Bob connait la stratégie de Alice, alors sa meilleure stratégie est de choisir n'importe quel nombre entre 4 et 6. Démonstration :
Calculons l'espérance de gain de Alice selon le chiffre choisit par Bob :
- Si Bob choisit 4 : G = (-3)*15/37 + 2*12/37 + 3*10/37 = 9/37
- Si Bob choisit 5 : G = 1*15/37 + (-3)*12/37 + 3*10/37 = 9/37
- Si Bob choisit 6 : G = 1*15/37 + 2*12/37 + (-3)*10/37 = 9/37
=> Dans tous les cas Alice a une espérance de gains strictement positive et constante !

On en conclut au moins que la meilleure position est celle de Alice. Je pense que cette stratégie est la meilleure stratégie de Alice, mais reste à le démontrer.
zefreidz
Brûle fils de pute, brûuuule

Légende
le 27/01/2018 20:53
Bob c'est forcément un tricheur.
Mauvais exemple
Madmox
I guess Warhol wasn't wrong, Fame fifteen minutes long

Légende
le 27/01/2018 21:57
J'ajoute que cette stratégie ne dépend pas du "prix d'entrée" de Alice (3). Donc elle est la même pour maximiser le nombre de marqueurs sur Six-y Beast (si on considère que le nombre de marqueurs est 0 si la bête est sacrifiée).
ZeSword
Bruxelles, Belgique

AVATAR
le 28/01/2018 22:23
Bob est-il un humain? Bob connaît-il bien Alice? Bob et Alice ont-ils déjà joué l'un contre l'autre?

La réponse de Madmox a l'air très bonne dans le cas idéal où tous les joueurs jouent optimalement, ont le droit à une aide extérieure, et connaissent les stratégies de l'autre.

En pratique, si j'étais Bob je ne permettrais pas à Alice d'utiliser un générateur de nombres aléatoires extérieur mais juste de décider avec son esprit du nombre qu'elle va choisir. En pratique, chacun a des infos sur l'autre qui peuvent permettre de changer la donne (psychologie). Par ex. à l'incontournable PFC contre un adversaire non expérimenté, tu dis "pierre, feuille, ciseaux" tout haut pendant qu'on choisit et l'autre avec grande probabilité va jouer ciseaux et donc il faut jouer pierre.
Madmox
I guess Warhol wasn't wrong, Fame fifteen minutes long

Légende
le 29/01/2018 0:23
Citation :
La réponse de Madmox a l'air très bonne dans le cas idéal où tous les joueurs jouent optimalement, ont le droit à une aide extérieure, et connaissent les stratégies de l'autre.
Yep, à la base je voulais juste répondre à la question "Vaut-il mieux être Alice ou Bob dans ce jeu?" (parce que bon, en pratique, y a de meilleures stratégies pour Alice si elle connait Bob), mais je me suis pris au jeu quand j'ai vu qu'un simple tirage uniforme sur 4-5-6 ne suffisait pas à avoir une espérance supérieure à 3 :)
Coro
S'il n'y a pas de solution, il n'y a pas de problème.

Légende
le 29/01/2018 7:46
Non, globalement, c'est bien la réponse que j'attendais avec beaucoup d'intuition qui se révèle juste (par exemple, Madmox a deviné qu'il faut tirer aléatoirement entre 4, 5 et 6 sans jamais tomber sur 1, 2 ou 3, il a également deviné la bonne formule et vérifié que l'adversaire est indifférent entre ses différentes stratégies alors qu'en principe, il faut faire l'inverse, c'est-à-dire chercher les stratégies qui rendent l'adversaire indifférent entre ses différentes stratégies). Alors, oui, il faut supposer qu'Alice et Bob ont à disposition un moyen de faire un tirage aléatoire, parce que sinon c'est difficile d'optimiser, ce qui était la question à la base.
Baurd Maul, Happy locktober

le 31/01/2018 10:24
Si Bob peut arrêter la partie à la manche qu'il souhaite et qu'Alice utilise une générateur aléatoire de chiffres entre 4 et 6, alors la meilleure stratégie pour bob est de choisir 6 systématiquement en espérant tomber juste avant la manche numéro 4.
Baurd Maul, Happy locktober

le 31/01/2018 10:50
D'ailleurs, même si la partie est infinie, la meilleure stratégie est de choisir 6 systématiquement pour bob
Madmox
I guess Warhol wasn't wrong, Fame fifteen minutes long

Légende
le 31/01/2018 20:52
Citation :
D'ailleurs, même si la partie est infinie, la meilleure stratégie est de choisir 6 systématiquement pour bob
Non, pas avec la solution proposée. 4, 5 et 6 sont des choix équivalents pour Bob, car 4 a plus de chances de tomber que 5 qui a plus de chance de tomber que 6 (le tirage aléatoire n'est pas uniforme).

Et j'ai pas compris la 1ère remarque sur l'arrêt à la manche 4 (quel rapport ? les manches sont indépendantes).
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