Pour le mal d'invocation, c'est le début du tour qui compte, pas l'entretien.
sinon, oui, elle restera engagée.
Pour les équipements et les auras, le contrôleur de ces derniers ne changeront pas.
Donc, pour un équipement, le contrôleur de l'équipement pourra l'attacher à une de ses créatures, s'il en a une, dès qu'il le pourra (il devra attendre sa phase principale).
Même si une aura restera généralement attachée, le changement de contrôleur peut rendre la créature illégale pour certaines auras (ex
Spirit Loop avec son "enchanter : créature que vosu contrôlez") et donc envoyer l'aura au cimetière.