Citation :
Je sais qu'il y a toujours plein de matheux qui traînent ici et j'aurai voulu qu'on m'explique pourquoi l'infinité de nombres décimaux entre 0 et 1 est plus grande que l'infinité de nombres entiers naturels.
Ceci est faux. Les nombres décimaux sont ceux qui admettent en base 10 une écriture décimale constituée d'un nombre fini de chiffres autres que 0, et on peut montrer qu'il y en a autant que de nombres entiers.
Ce que dit la vidéo, c'est qu'il y a plus de nombres
réels entre 0 et 1 que d'entiers, ce que l'on démontre par l'absurde par le procédé diagonal de Cantor:
Supposons qu'il y ait autant de réels entre 0 et 1 que d'entiers naturels. On peut donc associer à chacun d'eux un entier naturel, c'est-à-dire qu'on peut les lister dans une suite:
u_1 = 0,a_1_1 a_1_2 a_1_3 ...
u_2 = 0,a_2_1 a_2_2 a_2_3 ...
u_3 = 0,a_3_1 a_3_2 a_3_3 ...
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Où pour tout entier i, la suite (a_i_n)_n (indexée par n) n'est pas constituée uniquement de 9 à partir d'un certain rang.
Il s'agit de l'écriture décimale des réels entre 0 et 1, et la condition ci-dessus assure que chaque réel a une écriture décimale unique (en effet, par exemple, 0.99999...=1)
On définit alors un nombre réel x entre 0 et 1 par son écriture décimale:
x=0.x_1 x_2 x_3...
où pour tout entier i, x_i est différent de a_i_i défini précédemment.
Ainsi, x_1 est différent de a_1_1, donc x n'a pas la même écriture décimale que u_1, donc x et u_1 sont distincts (c'est là qu'on voit l'importance de refuser les écritures décimales finissant par une suite de 9).
De même x_2 est différent de a_2_2, donc x et u_2 sont distincts. De même x est distinct de tous les u_i.
Ceci est contradictoire avec le fait que la suite (u_i) contienne tous les réels entre 0 et 1, puisque x est précisément un réel entre 0 et 1 qui n'en fait pas partie.
Donc au final, il y a plus de réels entre 0 et 1 que d'entiers.
Citation :
C'est quoi un nombre a développement infini? les entiers aussi vont jusqu'à l'infini?
En base 10, les nombres décimaux (en particulier les nombres entiers) admettent un développement décimal fini (c'est-à-dire constitué uniquement de 0 à partir d'un certain rang), pas les autres nombres.
Petite application du principe diagonal de Cantor pour finir:
Soit l'ensemble de tous les nombres que l'on peut définir par une phrase. Une phrase étant une suite finie de lettres prises dans un alphabet fini, il en découle que l'ensemble des nombres définissables est dénombrable. Or, comme
R ne l'est pas, il existe des nombres non définissables.
Si j'écris la suite des nombres définissables, je construit alors de la même manière que précédemment un nombre x par le procédé diagonal de Cantor (il suffit d'écrire les nombres définissables en base 2). Le nombre x n'est pas définissable. Pourtant, je viens de le définir.