Si j'ai un Overtaker en jeu et que je n'est pas de carte en mains, je peu tu utiliser l'abiliter du Overtaker quand même?

Salut,

Je sais qu'il y a toujours plein de matheux qui traînent ici et j'aurai voulu qu'on m'explique pourquoi l'infinité de nombres décimaux entre 0 et 1 est plus grande que l'infinité de nombres entiers naturels.

J'ai vu ça en procrastinant sur you tube. Je vois pas en quoi l'explication permet de comprendre le truc :

https://www.youtube.com/watch?v=A-QoutHCu4o

Je ne suis qu'un béotien en maths et je vois pas pourquoi on ne pourrait pas trouver un entier à relier à chaque nombres décimaux. Genre lier 0.16874616+947... avec l'entier 16874616+947...

0.16874616+947 c'est quoi ? 947 zeros derrière ? une typo ?

Sinon le truc qui va poser problème avec ton système c'est les décimaux à développement infini, type 1/3.

si y avait que des fractions encore on pourrait faire un truc (il y a 'autant' de fractions que d'entiers), mais il y a aussi (et il y en a beaucoup plus) des saletés genre 1/sqrt(2), 1/e ou 1/pi. je révise mon argument diagonal et j'arrive.

Je le trouve pas si mal expliqué dans la video ceci dit. si tu peux indexer les réels entre 0 et 1 par les entiers, alors tu as une suite :

u_1 = 0.12345678..
u_2 = 0.9876544324..
u_3 = 0.32145675..
...

telle que pour tout décimal entre 0 et 1, il existe un u_n qui correspond.
On construit alors le décimal d de la manière suivante: le ième chiffre après la virgule est égal au ième chiffre après la virgule de u_i, auquel on ajoute 1 (si c'est un 9 on met un 0).

Le début de notre nombre d sera alors 0.292..., mais c'est un nombre avec un développement décimal infini. Du coup, c'est un nombre entre 0 et 1, et du coup il devrait être dans ma suite. Mais sa construction fait qu'il est différent de tous les nombres de la suite u. D'où contradiction.

J'ai vraiment du mal a voir la contradiction, le nouveau nombre 0.292, on l'accroche au prochain nombre entier qui passe et puis voila... Et pour 1/3 soit 0.33333... "ya qu'a" le lier a l'entier 33333.... les petits points étant le début de nombre.

Si les décimaux ont droit à leur "..." pourquoi pas les entiers?

J'ai vraiment du mal avec cette histoire de : "je fais un nouveau décimal grâce à une règle arbitraire (genre 9 devient 0 ou je draft des chiffres dans les autres décimaux). Et les entiers ne peuvent plus suivrent" ben si, les entier peuvent suivrent! le nouveau décimal pourra toujours être lié à un entier qui lui ressemble genre lier ton 0.292... avec l'entier 292... . A moins que les entier n'aient pas le droit d'être irrationnelle...

Je m'égare un peu, au secours...
C'est quoi un nombre a développement infini? les entiers aussi vont jusqu'à l'infini?
Merci Ivan pour ton temps

PS : j'ai bugger, ya pas de "+" dans mon post plus haut

Ceci est faux. Les nombres décimaux sont ceux qui admettent en base 10 une écriture décimale constituée d'un nombre fini de chiffres autres que 0, et on peut montrer qu'il y en a autant que de nombres entiers.
Ce que dit la vidéo, c'est qu'il y a plus de nombres réels entre 0 et 1 que d'entiers, ce que l'on démontre par l'absurde par le procédé diagonal de Cantor:
Supposons qu'il y ait autant de réels entre 0 et 1 que d'entiers naturels. On peut donc associer à chacun d'eux un entier naturel, c'est-à-dire qu'on peut les lister dans une suite:
u_1 = 0,a_1_1 a_1_2 a_1_3 ...
u_2 = 0,a_2_1 a_2_2 a_2_3 ...
u_3 = 0,a_3_1 a_3_2 a_3_3 ...
.
.
.
Où pour tout entier i, la suite (a_i_n)_n (indexée par n) n'est pas constituée uniquement de 9 à partir d'un certain rang.
Il s'agit de l'écriture décimale des réels entre 0 et 1, et la condition ci-dessus assure que chaque réel a une écriture décimale unique (en effet, par exemple, 0.99999...=1)
On définit alors un nombre réel x entre 0 et 1 par son écriture décimale:
x=0.x_1 x_2 x_3...
où pour tout entier i, x_i est différent de a_i_i défini précédemment.
Ainsi, x_1 est différent de a_1_1, donc x n'a pas la même écriture décimale que u_1, donc x et u_1 sont distincts (c'est là qu'on voit l'importance de refuser les écritures décimales finissant par une suite de 9).
De même x_2 est différent de a_2_2, donc x et u_2 sont distincts. De même x est distinct de tous les u_i.
Ceci est contradictoire avec le fait que la suite (u_i) contienne tous les réels entre 0 et 1, puisque x est précisément un réel entre 0 et 1 qui n'en fait pas partie.
Donc au final, il y a plus de réels entre 0 et 1 que d'entiers.


En base 10, les nombres décimaux (en particulier les nombres entiers) admettent un développement décimal fini (c'est-à-dire constitué uniquement de 0 à partir d'un certain rang), pas les autres nombres.

Petite application du principe diagonal de Cantor pour finir:
Soit l'ensemble de tous les nombres que l'on peut définir par une phrase. Une phrase étant une suite finie de lettres prises dans un alphabet fini, il en découle que l'ensemble des nombres définissables est dénombrable. Or, comme R ne l'est pas, il existe des nombres non définissables.
Si j'écris la suite des nombres définissables, je construit alors de la même manière que précédemment un nombre x par le procédé diagonal de Cantor (il suffit d'écrire les nombres définissables en base 2). Le nombre x n'est pas définissable. Pourtant, je viens de le définir.

le truc c'est qu'un entier est, par définition, un nombre fini, comptable, avec un nombre de chiffres fini. 33333... ça n'existe pas. Tu peux dire 'le nombre composé de 147 millions de 3' si tu veux. ça fait un gros nombre. mais pas infini.

De l'autre coté, 1/3, il y a littéralement une infinité de 3 après la virgule. Et un entier qui a une infinité de chiffres, ça n'existe pas.

Dans les nombre décimaux, il y a trois catégories

* Ceux avec un développement fini : 57; 1,5; 0,11243567 par exemple. Ils ont respectivement 0,1 et 8 chiffres après la virgule.

* Ceux avec un développement infini, mais qui devient périodique au bout d'un moment : 1/3 (=0,33333....) 1/7 (=0.142857142857142857...).

Ces deux premières catégories, ensemble, forment les rationnels. Ce sont les nombres qu'on obtient en divisant un entier par un autre.

* La troisième catégorie, plus méconnue, est formée des irrationnels. Ce sont les nombres qui ne peuvent pas s'exprimer comme fraction de deux entiers. Les exemples les plus connus sont pi et racine de 2. Il y en a BEAUCOUP. Sérieux. Pour chaque nombre auquel l'humain a donné un nom, il existe une infinité de nombres comme ça auquel on a pas donné de nom.


Concernant la définition de beaucoup : Quand on a commencé à étudier les infinis, on a défini la dénombrabilité. Un ensemble est dénombrable si on peut étiqueter chacun des ses élément avec un entier. Pour les entiers naturels, c'est facile. Chaque nombre est sa propre étiquette. Essayons avec les entiers relatifs :


0 -> 0
1 -> 1
2 -> -1
3 -> 2
4 -> -2
5 -> 3
...
n-> si n est pair alors -n/2, si n est impair alors (n-1)/2

Et hop j'ai donné une étiquette a tous les nombres relatifs. l'étiquette du nombre -1234 est donc 2469 par exemple. L'ensemble des entiers relatif est dénombrable.

Essayons avec les rationnels. là il faut faire attention, normalement on a pas le droit de numéroter deux fois le même nombre, là je vais le faire qd même parce que c'est plus simple. Et je vais faire que les positifs pour plus de simplicité. L'astuce est de regrouper les fractions par somme numérateur+dénominateur croissante :

0 -> 0/1 -> la seule fraction avec pour somme 1
1 -> 0/2 (déjà fait, dans la vraie version de ce truc là on le saute)
2 -> 1/1 -> les deux fractions avec pour somme 2
3 -> 0/3 (déjà fait)
4 -> 1/2
5 -> 2/1 -> les trois fractions avec pour somme 3
6 -> 0/4
...

et ainsi de suite (la formule générale est un peu pénible). J'ai un peu triché vu qu'on va étiqueter le même nombre plusieurs fois (0/1=0/2, ou 1/2=2/4 par exemple), mais il suffit de supprimer (sauter quoi) les doublons pour achever de montrer que l'ensemble des rationnels est dénombrable.


Et maintenant le pénible : les nombres entre 0 et 1. Le truc que tu proposes ne marche pas. Sinon 0,1 et 0,01 vont avoir la même étiquette par exemple. De plus, il faut que tu trouve un moyen d’étiqueter les nombres a développement infini -> il n'y a pas 'd'entiers infinis' qui correspondent.

oui effectivement un décimal c'est a développement fini. Et eux pour le coup ils sont dénombrables (on commence par ceux avec 1 chiffre après la virgule, puis ceux avec 2, etc...). La video et moi-même parlons des réels, les vrais nombres quoi :). ça existe pas les décimaux, c'est un fantasme de physicien qui pensent que les nombres s’arrêtent là où la calculatrice les coupe :p

free taunt @ phi

@ KaramGruul : j'ai pas tout compris, j'ai du mal avec tout ces trucs de a1 a2 ai, je suis un naze en math mais si je comprend bien, Les entiers l'ont dans le *** parce qu'ils ne peuvent pas avoir un nombre infini de chiffre les constituant alors que les réels entre o et 1 peuvent.

Mais ça me pause problème quand même


Cela ne voudrait-il pas dire qu'il y a un nombre fini de décimaux et donc un nombre fini d'entier?

@glacius

On m'aurai menti!? ya un nombre fini entier? Si un entier ne peux avoir une infinité de chiffre, n'y a-t-il pas une fin au nombre entier?



J'y avais réfléchit à ça : genre 1 se lie avec 0.1 et du coup pour 0.01, les entier ne peuvent pas remettre 1. MAIS l'inverse est aussi vrai genre:
0.1 se lie avec 1 mais quel réel tu lie avec 10? 0.10? pareil que 0.1. Du coup 0.1 pourrais aller avec 1, 0.01 avec 10 etc. c'est juste que le 0 est pas ajouter au même endroit.

Désolé pour mes inepties bétise de non matheux...

Non, il y en a un nombre infini des deux. C'est le même infini par contre, contrairement aux réels.

il y a un nombre infini de nombres entiers, mais il n'y a pas d'entier de taille infinie.



avec un fix comme celui-ci, oui tu va pouvoir étiqueter les décimaux. Mais tu restes coincé pour les nombres ayant un développement décimal infini, comme 1/3 ou racine de 0.5

ça, ça me pause un problème métaphysique. si il n'y a pas d'entier de taille infini, comment peut-il y avoir une infinité d'entier?

parce que chaque entier a un successeur: si on appelle cet entier n, alors son successeur est n+1, et que deux entiers différents ne peuvent pas avoir le même successeur: si n+1=m+1 (si le successeur de n est le même que celui de m), alors n=m.
Donc si on prend un entier n de taille finie, son successeur est un autre entier de taille finie (au pire, il a un chiffre de plus), qui admet lui même un successeur (qui a lui aussi une écriture finie) etc...

Dur ça, il y a une infinité de nombre fini c'est pas intuitif du tout, faut que je me penche sur la question...

Il y a une infinité d'entiers, ça on est d'accord.
Mais chacun d'entre eux a un nombre fini de chiffres. Ça n'existe pas un nombre entier avec une infinité de chiffres ^^

c'est comme a magic. Tu fais une boucle pour gagner des pv, tu peux pas dire 'j'ai l'infini pv'. Tu dois choisir un nombre entier (gros). Et ton adversaire pourra toujours te tuer en t'infligeant un nombre de blessures plus grand après.

un des principes d'un nombre entier, c'est que tu dois pouvoir l'écrire en entier. après ça peut prendre plusieurs pages/livres/galaxies, mais théoriquement ça doit être possible.

Alors que pi, tu pourras jamais écrire son développement décimal en entier.

side note : il existe des modèles théoriques avec des entiers 'infinis' (modèles non-standards de l'arithmétique). Mais ça ne marche pas comme tu le penses avec des nombres ayant une infinité de chiffres, et ça n'a pas grand chose à voir :)

Merci bien les gars vraiment, je sais maintenant que c'est ma définition d'entier qui était mauvaise.

Mais quand même, si je reprend le truc

"entier fini" +1 = "entier fini" donc ya que des entiers finis.

MAIS

si l'on fait ça une infinité de fois je me retrouve avec entier + infini de "+1" = Infini à priori. Je me doute que je vais pourrir dans les limbes pour le viol des règles mathématiques en disant ça...

On ne le fait pas une infinité de fois, mais le nombre de fois qu'on veut, et l'infini n'est pas un nombre.
Après, il faudrait s'entendre sur une définition précise de l'infini.

Infini, sémantiquement parlant, c'est qui n'a pas de limite en nombre ou taille. En réalité on pourrait rajouter qu'il s'agit d'un potentiel, pas d'une réalité, car dans l'application ou le concret tu poseras tjrs une limite fini.

Faire un truc une infinité de fois ça n'existe pas, tu feras toujours un truc un nombre précis de fois.

Merci bien à tous.

Les entier c'est fini et puis c'est tout. Je suis un peu déçu parce que j'ai toujours cet arrière goût de "l'entier a un nombre fini de chiffre parce qu'il est défini, à la base, comme ça".

admettons que tu aie des entiers avec un nombre infinis de chiffres. Comment tu les additionnes ? les multiplies ? Ou plus simplement, comment tu les écris pour les manipuler ? Il est surement possible de définir un truc, mais qui n'aurait certainement aucun rapport avec la 'réalité' des entiers.